Формула сложных ссудных процентов

Вопрос 1. Простые и сложные проценты

Финансовый менеджмент: теория и практика: Учебник/Под ред. Е.С.Стояновой. – 5-е изд., перераб. и доп. – М.: Изд-во «Перспектива», 2005. – 656 с

2.1. Простые ставки ссудных процентов

Простые ставки ссудных (декурсивных) процентов применяются обычно в краткосрочных финансовых операциях, когда интервал начисления совпадает с периодом начисления (и составляет, как правило, срок менее одного года), или когда после каждого интервала начисления кредитору выплачиваются проценты. Естественно, простые ставки ссудных процентов могут применяться и в любых других случаях по договоренности участвующих в операции сторон.

Введем следующие обозначения:

i(%) – простая годовая ставка ссудного процента;

i относительная величина годовой ставки процентов;

Iг– сумма процентных денег, выплачиваемых за год;

I общая сумма процентных денег за весь период начисления;

P величина первоначальной денежной суммы;

кн – коэффициент наращения;

n– продолжительность периода начисления в годах;

д – продолжительность периода начисления в днях;

К – продолжительность года в днях.

Величина К является временной базой для расчета процентов.

В зависимости от способа определения продолжительности финансовой операции рассчитывается либо точный, либо обыкновенный (коммерческий) процент.

Дата выдачи и дата погашения ссуды всегда считаются за один день. При этом возможны два варианта:

вариант 1 используется точное число дней ссуды, определяемое по специальной таблице, где показаны порядковые номера каждого дня года; из номера, соответствующего дню окончания займа, вычитают номер первого дня;

вариант 2. берется приблизительное число дней ссуды, когда продолжительность полного месяца принимается равной 30 дням; этот метод используется, когда не требуется большая точность, например, при частичном погашении займа.

Точный процент получают, когда за временную базу берут фактическое число дней в году (365 или 366) и точное число дней ссуды.

Приведенным выше определениям соответствуют формулы:

Применяя последовательно формулы (1.4), (1.3), (1.2) и (1.6), получаем основную формулу для определения наращенной суммы 1 :

(1.7)
(1.8)

На практике часто возникает обратная задача: узнать величину суммы Р, которая в будущем должна составить заданную величину S. В этом случае Р называется современной (текущей, настоящей 2 , приведенной) величиной суммы S.

Определение современной величины Р наращенной суммы Sназывается дисконтированием, а определение величины наращенной суммы S компаундингом.

В применении к ставке ссудного процента может также встретиться название математическое дисконтирование, несовместимое, кстати говоря, с учетными ставками, которые будут рассматриваться в следующем разделе.

Из формулы (1.7) получаем формулу, соответствующую операции дисконтирования:

(1.9)

Преобразуя формулу (1.7) (т. е. заменяя входящие в нее выражения на эквивалентные и выражая одни величины через другие), получаем еще несколько формул для определения неизвестных величин в различных случаях:

(1.10)
(1.11)
(1.12)
(1.13)

Иногда на разных интервалах начисления применяются разные процентные ставки. Если на последовательных интервалах начисления n1, n2. nN используются ставки процентов i1, i2. iNто по формулам (1.2) и (1.3) сумма процентных денег в конце первого интервала составит:

в конце второго интервала:

При N интервалах начисления наращенная сумма составит

(1.14)

Для множителя наращения, следовательно, имеем

(1.15)

Рассмотрим несколько примеров, соответствующих различным наборам исходных данных.

Пример 1

Ссуда в размере 50 000 руб. выдана на полгода по простой ставке процентов 28% годовых. Определить наращенную сумму.

Решение

Пример 2

Кредит в размере 10 000 000 руб. выдан 2 марта до 11 декабря под 30% годовых, год високосный. Определить размер наращенной суммы для различных вариантов (обыкновенного и точного) расчета процентов.

Решение

  1. В случае точных процентов берем д = 284.

По формуле (1.8) получаем:

2. Для обыкновенных процентов с точным числом дней ссуды имеем

  1. Для обыкновенных процентов с приближенным числом дней ссуды = 280) по формуле (1.8) получаем

Пример 3

Кредит в размере 20 000 000 руб. выдается на 3,5 года. Ставка процентов за первый год — 30%, а за каждое последующее полугодие она уменьшается на 1%. Определить множитель наращения и наращенную сумму.

Решение

Пример 4

Определить период начисления, за который первоначальный капитал в размере 25 000 000 руб. вырастет до 40 000 000 руб., если используется простая ставка процентов 28% годовых.

Решение

По формуле (1.10) получаем

Пример 5

Определить простую ставку процентов, при которой первоначальный капитал в размере 24 000 000 руб. достигнет 30 000 000 руб. через год.

Решение

По формуле (1.13) определяем

Пример 6

Читайте также:  Страховое общество надежда отзывы

Кредит выдается под простую ставку 26% годовых на 250 дней. Рассчитать сумму, получаемую заемщиком, и сумму процентных денег, если требуется возвратить 40 000 000 руб.

Решение

По формуле (1.9) (операция дисконтирования) имеем

Из формулы (1.4) получаем

2.3. Сложные ставки ссудных процентов

Если после очередного интервала начисления доход (т. е. начисленные за данный интервал проценты) не выплачивается, а присоединяется к денежной сумме, имеющейся на начало этого интервала, для определения наращенной суммы применяют формулы сложных процентов. Сложные ссудные проценты в настоящее время являются весьма распространенным видом применяемых в различных финансовых операциях процентных ставок.

ic относительная величина годовой ставки сложных ссудных процентов;

кнс – коэффициент наращения в случае сложных процентов;

j номинальная ставка сложных ссудных процентов (ее определение будет дано в дальнейшем).

Если за интервал начисления принимается год, то по прошествии первого года наращенная сумма, в соответствии с формулой (1.7), составит

Еще через год это выражение применяется уже к сумме S1.

и так далее. Очевидно, что по прошествии nлет наращенная сумма составит

(3.1)

Множитель наращения кн.с соответственно будет равен

(3.2)

При начислении простых процентов он составил бы по формулам (1.5) и (1.7):

Сравнивая два последних выражения для коэффициентов наращения, можно видеть, что чем больше период начисления, тем больше разница в величине наращенной суммы при начислении простых и сложных процентов.

Эту разницу можно наглядно представить с помощью графиков, изображенных на рис. 1. Здесь, как и на всех последующих рисунках, по горизонтальной оси откладываются годы, по вертикальной – тысячи рублей. Первоначальная сумма составляет 1000 руб., процентная ставка – 30% годовых. Верхняя линия соответствует наращению денежной массы в случае применения сложной процентной ставки. Она представляет собой пример экспоненциального роста (чем больше n, тем круче кривая уходит вверх), в то время как нижняя линия (соответствующая случаю простых процентов) является прямой с очень небольшим углом наклона.

Поэтому, когда возникает возможность выбора между низкой сложной процентной ставкой и более высокой простой, следует отдавать предпочтение первому варианту. Естественно, если в нашем распоряжении более или менее значительный период времени. Сумма, наращенная по сложной процентной ставке, уже через небольшое (в зависимости от разницы в величине процентных ставок) количество интервалов начисления превысит сумму, наращенную по простой ставке

Если срок ссуды nв годах не является целым числом, множитель наращения определяют по выражению:

На практике в данном случае часто предпочитают пользоваться формулой (3.1) с соответствующим нецелым показателем степени. Но нужно иметь в виду, что с точки зрения сущности начисления процентов этот способ является приблизительным, и погрешность при вычислениях будет тем больше, чем больше значения входящих в формулу величин. Наибольшее расхождение мы получим приnb= 1/2, как раз в том случае, когда очень удобно применить формулу (3.1), ведь на всех калькуляторах есть операция извлечения квадратного корня (т. е. возведения в степень 1/2). Следует учитывать, что приблизительный метод дает меньший, чем в действительности, результат.

Таким образом, в современной ситуации, когда номиналы денежных сумм достаточно велики, от этого метода лучше отказаться вовсе. В конце раздела будет приведен пример, позволяющий оценить разницу в результатах при двух способах вычисления множителя наращения по формулам (3.2) и (3.3).

Предположим теперь, что уровень ставки сложных процентов будет разным на различных интервалах начисления.

Пусть n1, n2, . nN– продолжительность интервалов начисления в годах; i1, i2,. iN годовые ставки процентов, соответствующие данным интервалам. Тогда наращенная сумма в конце первого интервала начисления в соответствии с формулой (1.7), составит:

В конце второго интервала:

При N интервалах начисления наращенная сумма в конце всего периода начисления составит

(3.4)

Если все интервалы начисления одинаковы (как и бывает обычно на практике) и ставка сложных процентов одна и та же, формула (3.4) принимает вид:

(3.5)

Начисление сложных процентов может осуществляться не один, а несколько раз в году. В этом случае оговаривается номинальная ставка процентов j — годовая ставка, по которой определяется величина ставки процентов, применяемая на каждом интервале начисления.

При т равных интервалах начисления и номинальной процентной ставке jэта величина считается равной j/m.

Если срок ссуды составляет nлет, то, аналогично формуле (3.1), получаем выражение для определения наращенной суммы:

(3.6)

где тn общее число интервалов начисления за весь срок ссуды. Если общее число интервалов начисления не является целым числом (тn целое число интервалов начисления, / — часть интервала начисления), то выражение (3.6) принимает вид:

(3.7)

Для целого числа периодов начисления используется формула сложных процентов (3.1), а для оставшейся части – формула простых процентов (1.7).

Читайте также:  Проверка по номеру телефона авито

В России в настоящее время наиболее распространенным является начисление процентов по полугодиям, поквартальное и ежемесячное (иногда интервалом начисления может являться и день). Такие проценты, начисляемые с определенной периодичностью, называются дискретными.

В мировой практике часто применяется также непрерывное начисление сложных процентов (т. е. продолжительность интервала начисления стремится к нулю, а т – к бесконечности).

В этом случае для вычисления наращенной суммы служит следующее выражение:

(3.8)

Для расчетов можно использовать известную в математике формулу:

Из этой формулы следует:

Тогда для наращенной суммы получаем

(3.9)
(3.10)

Значения наращенной суммы Sможно вычислять с помощью финансового калькулятора или находя значения е]П и других требуемых величин в специальных таблицах.

Очевидно, что непрерывный способ начисления процентов дает максимальную величину наращенной суммы при прочих равных условиях (т. е. при одинаковых n, j, P).

Аналогично случаю простых процентов полученные формулы можно преобразовывать, выражая одни величины через другие, в зависимости от того, что известно, а что требуется найти.

Так, из формулы (3.1) получаем

(3.11)

Напомним, что, как и в случае простых процентов, определение современной величины суммы Sназывается дисконтированием.

Коэффициент дисконтирования а является величиной, обратной коэффициенту наращения, т. е. .

Формула (3.11), а также соответствующие формулы для случая простых ставок ссудного процента и для учетных ставок дают легко понять, что текущий финансовый эквивалент будущей денежной суммы тем ниже, чем отдаленнее срок ее получения и чем выше норма доходности.

Также из формулы (3.1) имеем

(3.12)
(3.13)

Применяя операцию логарифмирования к обеим частям формулы (3.1), получаем

(3.14)

Подобным же образом из формулы (3.6) получаем формулу:

(3.15)

Если нет специального калькулятора, значения логарифмов также находят по таблицам.

Существует несколько правил, позволяющих быстро рассчитать срок удвоения первоначальной суммы для конкретной процентной ставки.

Если после очередного интервала начисления доход не выплачивается, а присоединяется к денежной сумме, имеющейся на начало данного интервала, наращенную сумму определяют по формуле сложных процентов. В современный период сложные ссудные проценты являются широко распространенным видом применяемых в различных финансовых операциях процентных ставок. В формулах, приведенных ниже, приняты следующие обозначения:

ic – относительная величина годовой ставки сложных ссудных процентов;

kН.С – коэффициент наращения при применении сложных процентов;

j – номинальная ставка сложных ссудных процентов.

При годовом интервале начисления наращенная сумма по окончании первого года в соответствии с формулой (3.7) составит:

Еще через год данное выражение применяется уже к сумме S1:

и так далее по каждому последующему году. Следовательно, по прошествии n лет наращенная сумма составит:

Множитель наращения kн.с соответственно возрастет до рассчитываемой величины:

При начислении простых процентов он составлял бы по формулам (3.5) и (3.7):

Сравнение формул (3.26) и (3.27) для коэффициентов наращения показывает, что чем больше период начисления, тем больше разница в величине наращенной суммы при начислении простых и сложных процентов. Поэтому при наличии выбора между низкой сложной процентной ставкой и более высокой простой следует предпочесть первый вариант.

Если срок ссуды в годах n не является целым числом, то множитель наращения определяют по выражению:

Если уровень ставки сложных процентов на различных интервалах начисления – разный, наращенная сумма в конце первого интервала начисляется в соответствии с формулой (3.7) и составляет:

В конце второго интервала:

и далее, аналогичным образом. При N интервалах начисления наращенная сумма в конце всего периода начисления составит:

Если все интервалы начисления одинаковы, что характерно для практики, и ставка сложных процентов одна и та же, формула (3.29) принимает вид

Сложные проценты могут начисляться не один, а несколько раз в году. В таком случае устанавливается номинальная ставка процентов j годовая ставка для определения величины ставок процентов на каждом интервале начисления.

где mn общее число интервалов начисления за весь срок ссуды.

Если общее число интервалов начисления не является целым числом, то выражение (3.31) принимает вид

где mn – целое число интервалов начисления; l – часть интервала начисления.

Для целого числа периодов начисления следует применять формулу сложных процентов (3.25), а для дробной части – формулу простых процентов (3.7). В современный период в нашей стране наиболее распространено начисление процентов по полугодиям, по кварталам и ежемесячно. Проценты, начисляемые с определенной определенностью, называются дискретными. В мировой практике применяется непрерывное начисление сложных процентов, при котором продолжительность интервала стремится к нулю, а их количество – к бесконечности. Для начисления наращенной суммы в таком случае применяют следующую формулу:

Для проведения расчетов также применяют математическую формулу

где e=2,71828… Из данной формулы следует:

Читайте также:  Что относится к забалансовым счетам

Тогда формула для определения наращенной суммы принимает вид:

В данной формуле

Величину наращенной суммы S можно рассчитать с применением финансового калькулятора или по специальным таблицам.

Как и в случае простых процентов, полученные формулы допускают преобразо

вания путем выражения одних величин через другие, в зависимости от того, что известно и что необходимо рассчитать. Из формулы (3.25) получаем:

В данной формуле коэффициент дисконтирования a является величиной, обратной коэффициенту наращения, т.е. kн.с*а = 1. Формула (3.36) и соответствующие формулы для случая простых ставок судного процента и для учетных ставок показывают, что текущий финансовый эквивалент будущей денежной суммы тем ниже, чем отдаленнее срок ее получения и чем выше норма доходности. Из формулы (3.25) также получаем:

Из формулы (3.31) имеем:

Применяя логарифмирование к обеим частям формулы (3.5), получаем:

Аналогичным образом можно получить из формулы (3.31) формулу

Срочно?
Закажи у профессионала, через форму заявки
8 (800) 100-77-13 с 7.00 до 22.00

Сложные ставки ссудных процентов

Если после очередного интервала начисления доход не выплачивается, а капитализируется, то для определения наращенной суммы применяются формулы сложных процентов. Сложные ссудные проценты достаточно широко применяются на практике.

Чем больше период начисления, тем больше разница в величине наращенной суммы при начислении простых и сложных процентов.

Формула для расчета сложных процентов имеет вид

где FV – капитализированная сумма; PV – величина первоначальной денежной суммы; п – продолжительность периода начисления в годах; i – ставка сложных ссудных процентов; п – количество лет.

Если срок ссуды нс является целым числом, то формула для расчета наращенной суммы имеет вид

где пa – целое число лет; пb – оставшаяся дробная часть года.

В случае если уровень сложных процентных ставок различается на разных интервалах начисления, то в конце всего периода начисления наращенная сумма будет определяться следующим образом:

где п1, п2 , . nN продолжительность интервалов начисления в годах; i1, i2 , . iN – годовые ставки процентов, соответствующие данным интервалам; N – количество интервалов начисления сложных процентов.

Начисление сложных процентов может осуществляться несколько раз в году, в этом случае оговаривается номинальная ставка процентов (j), т.е. годовая ставка, по которой определяется величина ставки процентов, применяемая на каждом интервале начисления.

При т равных интерватах начисления и номинальной процентной ставке j величина номинальной процентной ставки, применяемой на каждом интервале начисления, определяется как j/m.

Если срок ссуды составляет п лет, то наращенная сумма будет определяться следующим образом:

где j – номинальная ставка сложных ссудных процентов; тп – общее число интервалов начисления за весь срок ссуды.

Если общее число интервалов начисления не является целым числом, то наращенная сумма будет определяться следующим образом:

где l – часть интервала начисления.

Пример 9. Первоначальная сумма долга равна 50 000 000 руб. Требуется определить наращенную сумму через 2,5 года, используя два способа начисления сложных процентов по ставке 20% годовых.

Решение

1-й способ начисления.

Используем формулу :

2-й способ начисления.

Используем формулу

Пример 10. Требуется определить, какова должна быть сложная ставка ссудного процента, чтобы первоначальный капитал утроился за 5 лет. Определить также для случая начисления процентов по полугодиям.

Решение

Используем формулу :

Для случая начисления процентов по полугодиям

Сложные учетные ставки

При антисипативном способе начисления сложных процентов (проценты начисляются в начале каждого интервала), формула наращенной суммы имеет вид

где FV – будущая стоимость денег (сумма, которая должна быть возвращена); PV – сумма, получаемая заемщиком; d – величина сложной учетной ставки; п – количество лет.

Для периода начисления, не являющегося целым числом, наращенная сумма будет определяться следующим образом:

где па – целое число лет; пb – оставшаяся дробная часть года.

При учетной ставке, изменяющейся в течение срока ссуды, наращенная сумма определяется по формуле

где п1, п2, . nN продолжительность интервалов начисления в годах; d1, d2. dN – годовые учетные ставки, соответствующие данным интервалам; N – количество интервалов начисления сложных процентов.

Если проценты начисляются т раз в году, наращенная сумма определяется по формуле

где f– номинальная годовая учетная ставка; пт – общее количество интервалов начисления.

Если общее число интервалов начисления не является целым числом, то наращенная сумма будет определяться по формуле

где тп – целое число интервалов начисления за весь период начисления; l – часть интервала начисления.

Пример 11. Требуется определить нынешнее значение суммы в 100 000 000 руб., которая будет выплачена через 2 года при использовании учетной ставки 20% годовых.

Решение

Используем формулу :